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高中数学立体几何之 三棱锥的体积会小于其内切球的体积吗?

秦序>教学探究>立体几何>正文 edit
秦序网
  2017-3-16 22:13:31

Abstract:

2017年甘肃省第一次高考诊断考试文科数学第10题,计算出来的三棱锥内切球的体积反而大于三棱锥的体积,这是怎么回事?

Keywords:

三棱锥,内切球,体积,高考,2017甘肃一诊  

2017年甘肃省第一次高考诊断考试文科数学第10题如下:

一个三角形可分为以内切圆半径为高,以原三角形三条边为底的三个三角形,类比此方法,若一个三棱锥的体积 $V=2$,表面积 $S=3$,则该三棱锥内切球的体积为

A. $81\pi$

B. $16\pi$

C. $\frac{32\pi}{3}$

D. $\frac{16\pi}{9}$

计算不是多大的问题,关键是三棱锥的体积也就才是 $2$,但内切球的体积选项没一个小于 $2$ 的,这是什么回事?


由题可知,三角形的面积可用

\[S=\frac{1}{2}Cr\]

计算,其中 $C, r$ 分别为三角形的周长和内切圆半径。

以此类推得到三棱锥的体积计算公式为

\[V=\sum_{j=1}^4\frac{1}{3}S_jR=\frac{1}{3}\sum_{j=1}^4S_jR=\frac{1}{3}SR.\]

其中 $S_j, S, R$ 分别为三棱锥的四个面的面积,表面积和内切球的半径。


根据上题中给的数据,不难算出此内切球的体积为

\[V=\frac{32\pi}{3}.\]

选 C,但是

\[\frac{32\pi}{3}\gg2,\]

为何?

Reference:

2017年甘肃省第一次高考诊断考试文科数学试题

Wang,Haocheng

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