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高中数学平面几何之 [原创]平行线分线段成比例定理的一个应用

秦序网
  2018-2-7 21:35:42

Abstract:

利用平行线分线段成比例定理先得到一个间的比例关系, 进一步利用已得到结论证明一个很规则的的结论, 三角形重点的结论是其推论.

Keywords:

三角形, 平行线, 中点  


如图, 在 $\triangle ABC$ 中, 点 $E,F$ 分别为边 $AC,AB$ 上的点, 其中 $BF=xBA$, $CE=yCA$ 且 $BE$ 与 $CF$ 交于 $G$ 点, 连接 $AG$ 并延长交 $BC$ 于点 $D$. 可以得到

\[\frac{GE}{GB}=\frac{(1-x)y}x,\frac{GF}{GC}=\frac{(1-y)x}y.\]
进一步可以得到
\[\frac{DB}{DC}=\frac{\,\frac{BF}{AF}\,}{\,\frac{CE}{AE}\,}, \frac{GA}{GD}=\frac{AF}{BF}+\frac{AE}{CE}.\]

过 $E$ 作 $CF$ 的平行线交 $AB$ 于点 $H$. 根据平行线分线段成比例定理, 易得 $\frac{GE}{GB}=\frac{(1-x)y}x$; 根据对称性即得 $\frac{GF}{GC}=\frac{(1-y)x}y$. 至于剩下的两个, 借助于一个中间量要省事得多. 设 $BD=zBC$, 根据以上计算可得 $\frac{GE}{GB}=\frac{(1-y)(1-z)}z$, 故而
\[\frac{(1-y)x}y=\frac{(1-y)(1-z)}z,\]
解得
\[z=\frac{x(1-y)}{x(1-y)+(1-x)y}=\frac{BD}{BC},\]
利用比例性质, 化简得到
\[\frac{BD}{DC}=\frac{x(1-y)}{(1-x)y}=\frac{x}{1-x}/\frac{y}{1-y}=\frac{\,\frac{BF}{AF}\,}{\,\frac{CE}{AE}\,}.\]
同样利用之前计算可得到 $\frac{GD}{GA}=\frac{yz}{1-y}=\frac{xy}{x(1-y)+(1-x)y}$, 即
\[\frac{GA}{GD}=\frac{x(1-y)+(1-x)y}{xy}=\frac{1-x}{x}+\frac{1-y}{y}=\frac{AF}{BF}+\frac{AE}{CE}.\]

一个简单例子: 若 $E,F$ 均为中点, 即 $x=y=\frac12$, 则 $\frac{DB}{DC}=1$ 且 $\frac{GA}{GD}=1+1=2$, 也就是 $D$ 为中点, 三条中线交于一点, $G$ 点的位置也确定.

Reference:

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