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高中数学三角函数之 [原创]正余弦定理及角平分线的妙用

秦序>方法技巧>三角函数>正文 edit
秦序网
  2017-5-18 21:50:17

Abstract:

用四种方法解同一道题,试着比较一下区别. 2015年全国卷II文数第17题是一道三角函数,可以用三角函数恒等变换,也可以用角平分线定理,还可以用正余弦定理,但直接用平面几何性质来得更快更简洁.

Keywords:

三角函数,角平分线,正余弦定理,平面几何  

15-2.17 $\triangle ABC$ 中,$D$ 是 $BC$ 上的点,$AD$ 平分 $\angle BAC,\ BD=2DC$.

(I)求 $\dfrac{\sin B}{\sin C}$;

(II)若 $\angle BAC=60^{\circ}$,求 $\angle B$.

(I) 在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 中使用正弦定理,有

$$\dfrac{AD}{\sin B} = \dfrac{BD}{\sin BAD} = \dfrac{2DC}{\sin CAD} = 2\dfrac{DC}{\sin CAD} = 2\dfrac{AD}{\sin C},$$

即得 $\dfrac{\sin B}{\sin C}=\dfrac{1}{2}$.


亦可用角平分线定理(若 $AD$ 平分 $\angle A$,则 $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$. 证明如下图,$CE\parallel AB$, 延长 $AD$ 交 $CE$ 于 $E$. $\angle CAD=\angle BAD=\angle CED$, $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{CE}=\dfrac{AB}{AC}$)解决:

$$\dfrac{\sin B}{\sin C}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{DC}{DB}.$$

(II)

法一: 由于 $2\sin B=\sin C=\sin(A+B)$,化简得 $\cos B=\sqrt{3}\sin B$,即 $\tan B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$,$B=\dfrac{\pi}{6}$.

法二: 由角平分线定理得: $AB=2AC$. 令 $AC=x$, 由余弦定理解得

\[BC=\sqrt 3 x.\]

故而 $\angle C=\dfrac{\pi}{2}$, $\angle B=\dfrac{\pi}{6}$.


法三: 由 $AB=2AC$, 取 $AB$ 中点 $E$ 并连接 $CE$, 则 $AE=AC=CE=BE$, 即 $\triangle ACE$ 等边, $\triangle BCE$ 等腰. 少做计算即得 $\angle B=\dfrac{\pi}{6}$.

Reference:

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