加入收藏    
秦序 珂斋 旗下专注于高中数学教育之 秦序网 欢迎各位莅临! 珂齋 西土居

高考真题 | 方法技巧 | 资讯 | 教学案 | 课件 | 检测题 | 教学探究 | 数学趣闻 | 家教

集合与逻辑
复数
算法
函数与导数
三角函数
平面向量
数列
不等式
空间向量
立体几何
解析几何
排列与组合
概率与统计
平面向量
高考总复习

高中数学解析几何之 一题多解之圆的方程

秦序>方法技巧>解析几何>正文 edit
秦序网
  2018-1-25 21:27:35

Abstract:

利用多种方法求解一个已知直径两端的坐标求解圆的方程的题目

Keywords:

圆的方程,一题多解,勾股定理,直线垂直,向量垂直  
人教 A 版高中数学必修二中有一个题目是要以 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$ 为一直径的两端点的圆的方程.

按照普通方法, 只需计算出圆心 $M$ 与半径 $r$ 就可得, 其中 $M$ 为线段 $AB$ 的中点 $(\frac{x_1+x_2}2,\frac{y_1+y_2}2)$,半径即为 $AB$ 的一半 $\frac12|AB|$. 然后化简可得, 不过化简过程比较繁琐.

用一下平面几何知识,设 $P(x,y)$ 为改圆上任意一点,则 $P$ 的轨迹即为所求的圆. 利用勾股定理,  可得 $|AP|^2+|BP|^2=|AB|^2$ (包括 $P$ 与 $A$ 或 $B$ 重合的情况), 再利用平方差公式,化简要更省事一点(实际上这是上一种方法过程中的一部分).
\begin{align*}
|AP|^2+|BP|^2 &=|AB|^2 \\
(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(x-x_2)^2+(y-y_2)^2 &= (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 \\
(x-x_1)^2+(y-y_1)^2 + (x-x_1)(x+x_1-2x_2)+(y-y_1)(y+y_1-2y_2)  &= 0 \\
(x-x_1)(x-x_1+x+x_1-2x_2)+(y-y_1)(y-y_1+y+y_1-2y_2) &= 0 \\
(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2) &= 0
\end{align*}

能用勾股定理,也可用直线垂直,若 $x\neq x_1,x_2$, 则
\[k_{AP}k_{BP}=-1.\]

\[\frac{y-y_1}{x-x_1}\frac{y-y_2}{x-x_2}=-1,\]
稍作化简即得. 不过需要说明一下 $x=x_1,x_2$ 亦成立.

若利用平面向量, 垂直就更省事了. 先说明一下无论 $AP\perp BP$ 还是 $\overrightarrow{AP}=\mathbf{0}$ 亦或 $\overrightarrow{BP}=\mathbf{0}$, 均满足
\[\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=0,\]
计算即可.

Reference:

人教 A 版高中数学必修 2
0
前一篇: 函数与导数[原创]函数(function)的概念 后一篇: 没有了
关于秦序 | 联系秦序 | JaxEdit 珂齋 西土居
本站部分资料来自互联网和共享资源,版权归原作者及机构拥有,如发现侵犯了您的相关权益,请及时联系处理。
本站所有非原创资料仅供学习研究之用,未经原作者同意,不得私自用于商业目的,否则自行承担由此所产生的一切法律责任。
版权声明:凡注明来源为本站的任何作品,本站保留所有权利,未经同意不得用于商业用途,转载时请注明本站链接。
Copyright © 2015-2017 QINXU  All Rights Reserved  陇ICP备15001363号-2  版权所有 © 秦序网