加入收藏    
秦序 珂斋 旗下专注于高中数学教育之 秦序网 欢迎各位莅临! 珂齋 西土居

高考真题 | 方法技巧 | 资讯 | 教学案 | 课件 | 检测题 | 教学探究 | 数学趣闻 | 家教

集合与逻辑
复数
算法
函数与导数
三角函数
平面向量
数列
不等式
空间向量
立体几何
解析几何
排列与组合
概率与统计
平面向量
高考总复习
秦序>方法技巧>不等式>正文 edit

高中数学不等式之 [原创]解由三边不等式确定的线性规划

秦序网
  2016-7-6 14:11:14

Abstract:

解决一类约束条件完全由三边不等式确定的线性规划问题的简单做法

Keywords:

线性规划,约束条件,三项不等式  

在高考中会碰见类似于$x,y$满足的约束条件为

\[\left\{\begin{array}{l} m_1\le f_1(x,y)\le M_1, \\ m_2\le f_2(x,y)\le M_2. \end{array}\right.\]

求目标函数$f(x,y)$的范围(或最值)的问题(其中$f_1(x,y),f_2(x,y),f(x,y)$均为二元一次多项式).

此类问题中,所给的$f_1(x,y),f_2(x,y)$的系数不成比例,因而可以得到$\exists k_1,k_2$(实际高考题中适当调整可以达到$k_1,k_2>0$)使得$f(x,y)=k_1f_1(x,y)+k_2f_2(x,y)$.

因此利用不等式的同向可加性即得到

\[k_1m_1+k_2m_2\le f(x,y)\le k_1M_1+k_2M_2\]

(注:其中$k_1,k_2$有时容易看出,优势比较麻烦,可以用如下解方程的方法得到:

设$f(x,y)=k_1f_1(x,y)+k_2f_2(x,y)$,则根据对应未知数的系数相等得到一个关于$k_1,k_2$的二元一次方程组,解方程组可得$k_1,k_2$.)

例 (2011年新课标全国卷理13)设变量$x,y$满足条件$\left\{\begin{array}{l} 3\le2x+y\le9,\\ 6\le x-y\le9. \end{array}\right.$则$z=x+2y$的最小值是 .

直接看出系数的就不多说了,直接计算如下:

设$x+2y=k_1(2x+y)+k_2(x-y)$,得

\[\left\{\begin{array}{l} 2k_1+k_2=1,\\ k_1-k_2=2. \end{array}\right.\]

解得

\[\left\{\begin{array}{l} k_1=1,\\ k_2=-1. \end{array}\right.\]

有一个负数,那就把对应的原来约束条件修改一下,变为

\[\left\{\begin{array}{l} 3\le2x+y\le9,\\ -9\le -x+y\le-6. \end{array}\right.\]

这样得到的新的$k_2=1$,即$(2x+y)+(-x+y)$应该为$x+2y$(事实如此). 得到$x+2y$的取值范围是$[3+(-9),9+(-6)]$,即$[-6,3]$,最小值为$-6$.

此外,如果不是三项不等式,则只能确定一个方向(即最大值或最小值). 如2014年新课标全国卷I第9题给出的约束条件

\[\left\{\begin{array}{l} x+y\ge1,\\ x-2y\le4. \end{array}\right.\]

则可以调整为

\[\left\{\begin{array}{l} x+y\ge1,\\ -x+2y\ge-4. \end{array}\right.\]

此不等式组的解集为$D$. 由于目标函数为$x+2y$,则此时$k_1=\dfrac{4}{3},k_2=\dfrac{1}{3}$(计算过程类似,略),得$\forall x,y\in D, x+2y=k_1(x+y)+k_2(-x+2y)\ge k_1\cdot1+k_2\cdot(-4)=0$


另外强调一点,在整个过程中,一定要牢记不等式的同向可加性,切记!

Reference:

0
前一篇: 高考总复习[原创]二轮复习及专题资料 后一篇: 不等式[原创]高考非线性规划解题核心
关于秦序 | 联系秦序 | JaxEdit 珂齋 西土居
本站部分资料来自互联网和共享资源,版权归原作者及机构拥有,如发现侵犯了您的相关权益,请及时联系处理。
本站所有非原创资料仅供学习研究之用,未经原作者同意,不得私自用于商业目的,否则自行承担由此所产生的一切法律责任。
版权声明:凡注明来源为本站的任何作品,本站保留所有权利,未经同意不得用于商业用途,转载时请注明本站链接。
Copyright © 2015-2017 QINXU  All Rights Reserved  陇ICP备15001363号-2  版权所有 © 秦序网