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高中数学数列之 [原创]一道高考数列题的严格做法

秦序网
  2016-7-9 21:24:23

Abstract:

关于2012年新课标全国卷理科第16题(文科第12题),有不少投机取巧的方法,但严格的做法不多,这里利用等差数列的性质给出一种严格做法

Keywords:

数列,高考题,等差数列  

2012年高考新课标全国卷理科第16题(文科第12题)如下:
数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}+(-1)^na_n=2n-1$,则$\{a_n\}$的前60项之和为?(理科为填空题,文科为选择题,略选项)
先给出严格做法.
根据已知条件中的$(-1)^n$就可以看出这个式子与$n$的奇偶性有关,故可把$n$分成$n=2k,\ n=2k+1(k\in\mathbb{Z}_+)$两类,分别得到两个式子:
\[a_{2k}-a_{2k-1}=4k-3,\ a_{2k+1}+a_{2k}=4k-1.\]
其中,$k\in\mathbb{Z}_+$.
设$S_n=\sum\limits_{j=1}^na_j$,由于
\begin{align*} S_4 & =a_1+a_2+a_3+a_4 \\ & =a_1-a_2+2(a_2+a_3)-a_3+a_4 \\ & =-(2\times2-3)+2(2\times2-1)+2\times4-3 \\ & =10\end{align*}

\begin{align*} S_{4k}-S_{4(k-1)} & =a_{4k-3}+a_{4k-2}+a_{4k-1}+a_{4k} \\ & =a_{4k-3}-a_{4k-2}+2(a_{4k-2}+a_{4k-1})-a_{4k-1}+a_{4k} \\ & =-(2\times(4k-2)-3)+2(2\times(4k-2)-1)+2\times(4k)-3 \\ & = 16k-6\end{align*}

\begin{align*} S_{4(k-1)}-S_{4(k-2)} & =a_{4k-7}+a_{4k-6}+a_{4k-5}+a_{4k-4} \\ & =a_{4k-7}-a_{4k-6}+2(a_{4k-6}+a_{4k-5})-a_{4k-5}+a_{4k-4} \\ & =-(2\times(4k-6)-3)+2(2\times(4k-6)-1)+2\times(4k-4)-3 \\ & = 16k-22\end{align*}
由于$(S_{4k}-S_{4(k-1)})-(S_{4(k+1)}-S_{4(k-2)})=16$
即得$S_4,\ S_8-S_4,\ \cdots,\ S_{4k}-S_{4(k-1)}$是以$S_4=10$首项,$16$为公差的等差数列,且
\begin{align*} S_{4k} & =S_4+S_8-S_4+\cdots+S_{4k}-S_{4(k-1)} \\ & =10+26+\cdots+16k-6 \\ & =\dfrac{(10+16k-6)k}{2} \end{align*}
故而
$$S_{60}=S_{4\times15}=\dfrac{(10+16\times15-6)\times15}{2}=1830$$.


注:
1. 有的方法和这个类似,但是在确定$S_4,\ S_8-S_4,\ \cdots,\ S_{4k}-S_{4(k-1)}(k\in\mathbb{Z}_+)$是等差数列的时候只是根据前三项$S_4,S_8,S_{12}$确定,不够严格;
2. 另有一种说可以令$a_1=1$之类(凭什么???),再加上猜想奇数项什么都是$1$,偶数项又有什么规则……
3. 此外若对数列$S_4,\ S_8-S_4,\ \cdots,\ S_{4k}-S_{4(k-1)}(k\in\mathbb{Z}_+)$一开始感觉很乱,可以令$b_1=S_{4\times1}$,$b_k=S_{4k}-S_{4(k-1)}(k\in\mathbb{Z}_+,k\ge2)$. 那么$S_{4k}=\sum\limits_{j=1}^kb_j$.

Reference:

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