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高中数学数列[原创]Fibonacci (斐波那契) 数列通项公式

秦序>方法技巧>数列>正文 edit
秦序网
  2016-8-3 22:15:59

Abstract:

利用上世纪我国著名数学家陈景润先生著《组合数学》的方法,推导 Fibonacci 数列的通项公式;顺便得到 Lucas 数列的通项公式.

Keywords:

组合数学,Fibonacci数列,通项公式,Lucas数列  
仅供参考,如有不当之处欢迎斧正
有一种数列递推公式为:
已知$a_1, a_2, a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}(n\ge3)$, 求$a_n$的通项公式.
对于这种类型,有一个统一的方法:
设$a_n=\alpha^n (n\ge3)$

\[
\alpha^n = c_1\alpha^{n-1} + c_2\alpha^{n-2},\\
\alpha^2 = c_1\alpha + c_2,\\
\alpha^2 -c_1\alpha -c_2 = 0.
\]
解此一元二次方程,得根$\alpha_1, \alpha_2$ (有可能为复根).
若$\alpha_1\ne\alpha_2$,则$a_n=p\alpha_1^n+q\alpha_2^n$;
若$\alpha_1=\alpha_2$,则$a_n=p\alpha_1^n+qn\alpha_1^n$.

根据$a_1, a_2$可解的$p,q$,即得$a_n$的通项公式.

具体推导过程可点击线性递推关系式求解查看

********************************************
*注:此法可推广至:
已知$a_1, a_2, \cdots, a_m, a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+\cdots+c_ma_{n-m}=\sum\limits_{j=1}^mc_ja_{n-j} (n\ge m+1)$, 求$a_n$的通项公式.
理论上解法类似,但是化简后的方程未必容易.
********************************************
根据以上理论即可解得 Fibonacci 数列通项公式.
Fibonacci 数列在/anekdota/detail.asp?id=2已经介绍过,这里不多赘述. Fibonacci 数列的规则为:
$F_1=F_2=1, F_n=F_{n-1}+F_{n-2} (n\ge3).$
设$F_n=\alpha^n (n\ge3)$,

\[
\alpha^n=\alpha^{n-1}+\alpha^{n-2},\\
\alpha^2=\alpha+1,\\
\alpha^2-\alpha-1=0.
\]
解方程,得$\alpha_{1,2}=\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
则$F_n=p\alpha_1^n+q\alpha_2^n.$
由$F_1=F_2=1$得
\begin{cases}
F_1=p(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2})+q(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2})=1,\\
F_2=p(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2})^2+q(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2})^2=1.
\end{cases}
解得
\[
p=\dfrac{\sqrt{5}}{5}, q=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}.
\]
故而得到Fibonacci数列的通项公式为
\[
F_n=\dfrac{\sqrt{5}}{5}((\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2})^n-(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2})^n).
\]
类似,易得 Lucas (卢卡斯) 数列 (参考/anekdota/detail.asp?id=2) 的通项公式为
\[
L_n=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2})^n+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2})^n.
\]

Reference:

陈景润著《组合数学》
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