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高中数学解析几何之 [原创]兰州一诊文数第9题的多种解法

秦序网
  2017-3-16 22:34:17

Abstract:

从2017年兰州市第一次高考诊断考试文科数学第9题说起,顺便探讨一下“想得多写得少”与“想得少写得多”,以及参数方程的应用

Keywords:

圆,向量,斜率,参数方程,辅助角公式  

2017年兰州市第一次高考诊断考试文科数学第9题如下:

已知圆 $C: (x-\sqrt{3})^2+(y-1)^2=1$ 和两点 $A(-t,0), B(t,0) (t>0)$,若圆 $C$ 上存在点 $P$,使得 $\angle APB=90^{\circ}$,则 $t$ 的取值范围是

A. $(0,2]$

B. $[1,2]$

C. $[2,3]$

D. $[1,3]$


法一:根据 $\angle APB=90^{\circ}$ 可知,点 $P$ 的轨迹为以 $AB$ 为直径的圆 $O$,又 $P\in C$,则 $P$ 必须在 $\odot O$ 与 $\odot C$ 的交点上,且 $t$ 恰好为 $\odot O$ 的半径。

由此可得,$\odot O$ 与 $\odot C$ 外切时 $t$ 取得最小值,$\odot O$ 与 $\odot C$ 内切时 $t$ 取得最大值,则

\begin{align*} t_{\min} &= |OC|-r_C=2-1=1,\\t_{\max} &= |OC|+r_C=2+1=3.\end{align*}

即 $t$ 的取值范围为 $[1,3]$.


法二:此法可以不用多想,利用参数方程直接计算即可。

根据 $\odot C$ 的一般方程可知其参数方程为

\begin{cases} x=\sqrt{3}+\cos\alpha,\\ y=1+\sin\alpha.\end{cases}

则可设 $P$ 的做标即为 $(\sqrt{3}+\cos\alpha, 1+\sin\alpha)$,又 $\angle APB=90^{\circ}$,利用向量垂直(或者直线垂直亦可)可得

\[(\sqrt{3}+\cos\alpha+t)(\sqrt{3}+\cos\alpha-t)+(1+\sin\alpha)^2=0.\]

稍作化简即得

\begin{align*} t^2 &= 3+2\sqrt{3}\cos\alpha+\cos^2\alpha+1+2\sin\alpha+\sin^2\alpha\\ &= 5+2\sin\alpha+2\sqrt{3}\cos\alpha\\ &= 5+4\sin(\alpha+\frac{\pi}{3})\\ &\in [1,9]\\ t &\in [1,3] (t>0).\end{align*}


法三:数形结合。

设 $P(x,y)$,根据 $\angle APB=90^{\circ}$ (利用向量垂直或直线垂直)易知 $t^2=x^2+y^2$ (对应法一中的什么?),又 $x,y$ 满足 $\odot C$ 的方程,则 $P$ 点即在(用 $t^2=x^2+y^2$ 和 $\odot C$ 的方程相减即得,又为何?)

\[2\sqrt{3}x+2y-3-t^2=0.\]

这就等价于一个可行域为一个圆($\odot C$),目标函数为 $z=2\sqrt{3}x+2y-3-t^2$ 的非线性规划。且当直线与圆相切时取得最值,即

\[\frac{|2(\sqrt{3})^2+2-3-t^2|}{2\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}}=1,\]

\[|5-t^2|=4,\]

亦得

\[t^2\in[1,9].\]

Reference:

2017年兰州市第一次高考诊断考试文科数学试题
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