2026年4月九师联考第18题, 涉及到双曲线的切线与其渐近线定点定值问题, 这同样也是一类一般化问题, 除了按部就班联立方程计算之外, 换个角度可使得计算量大幅下降.
已知点 $P(x_0,y_0)$ 在双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a>0$, $b>0$) 上, 则 $C$ 在$P$点处的切线方程为 \[ \ell: \frac{x_0x}{a^2} – \frac{y_0y}{b^2} = 1. \] 在高中课标下, 用曲线联立后的判别式可以确定. 此外在选填中, 把切线作为割线的极限, 用中点弦方法; 或用隐函数求导可以更快.
双曲线$C$ 的渐近线 \[ \ell_{1,2}: \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 0, \] 与 $\ell$ 的交点分别为 $A,B$, 则 $P$ 为 $AB$ 中点, 且 $S_{\triangle OAB}$. 记 $\lambda = \frac{x_0}a$, $\mu = \frac{y_0}b$, 显然 $\lambda^2 – \mu^2 = 1$.
联立 $\ell,\ell_1$, \[ (\lambda – \mu) \frac xa = 1 \implies A(\frac a{\lambda – \mu},\frac b{\lambda – \mu}), \] 同理可得 \[ B(\frac a{\lambda + \mu},\frac {-b}{\lambda + \mu}). \]
因此 \begin{align*} x_A + x_B &= \frac a{\lambda – \mu} + \frac a{\lambda + \mu} = \frac {2 \lambda a}{\lambda^2 – \mu^2}, \\ y_A + y_B &= \frac b{\lambda – \mu} + \frac {-b}{\lambda + \mu} = \frac {2 \mu b}{\lambda^2 – \mu^2}. \end{align*} 结合 $\lambda,\mu$ 的定义即得 $P$ 为 $AB$ 中点.
根据三角形面积公式有 \begin{align*} S_{\triangle OAB} &= \frac12 |x_A y_B – x_B y_A| \\ &= \frac12 |-\frac {2 a b}{\lambda^2 – \mu^2}| \end{align*} 利用 $\cos <\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}> = \frac{ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} }{ |\overrightarrow{OA}| \cdot |\overrightarrow{OB}| }$, 与 $S_{\triangle OAB} = \frac12 |\overrightarrow{OA}| \cdot |\overrightarrow{OB}| \sin <\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}>$ 可得上述面积公式, 结合 $\lambda,\mu$ 的定义即得 $S_{\triangle OAB} = ab$.