2021年高考理科数学乙卷第十一题使用常规方法计算甚是麻烦, 而且对于大多数人而言未必能分解最后的关键方程, 而使用参数方程则可轻松解决.
设 $P(a\cos\phi, b\sin\phi)$. 则对任意的 $P$, 有
\[ |PB|^2 = a^2\cos^2\phi + b^2(\sin\phi-1)^2 \le 4b^2, \]
即对任意的 $\phi$, 有
\begin{align*}
a^2\cos^2\phi + b^2\sin^2\phi – 2b^2\sin\phi + b^2 – 4b^2 &\le 0 \\
c^2\cos^2\phi – 2b^2\sin\phi – 2b^2 &\le 0 \\
c^2\sin^2\phi + 2b^2\sin\phi + 2b^2-c^2 &\ge 0 \\
e^2\sin^2\phi + 2(1-e^2)\sin\phi + 2-3e^2 &\ge 0 \\
(e^2\sin\phi + 2-3e^2)(\sin\phi + 1) &\ge 0 \\
e^2\sin\phi + 2-3e^2 &\ge 0,
\end{align*}
由恒成立可知
\[
e^2 \times (-1) + 2-3e^2 \ge 0,
\]
即 $e^2 \le 1/2$, 故而 $e \le \sqrt2/2$.
注: 不等式化简后期直接用离心率 $e$ 替代了 $b,c$, 更容易找出因子而分解.