高考概率题不时会出现 卡方 ( $\chi^2$ ) 检验 的问题, 由于统计数据的随机性, 具体计算一般都比较繁琐, 不过利用不等式适当放缩, 可以简化大量的计算, 节约时间. 举例如下:
2021年高考甲卷第17题第二问简洁计算
\begin{align*} K^2 &= \frac{400(150\times 80 – 120\times 50)^2}{200\times 200\times 270\times 130} \\
&= \frac{50^2\times 40^2 (3\times 2 – 3)^2}{100\times 270\times 130} \\
&= \frac{5^2\times 4^2\times 3^2}{27\times 13} \\
&= \frac{5^2\times 4^2}{3\times 13} ({}< \frac{26\times 4^2}{3\times 13} = 10+2/3<10.828)\\
&> \frac{5^2\times 4^2}{40} \\
&= 10 > 6.635
\end{align*}
2020年高考3卷第18题第二问简洁算法
\begin{align*} K^2 &= \frac{100(33\times 8 – 2\times 37)^2}{70\times 30\times 55\times 45} \\
&= \frac{11^2\times 2^2 (3\times 4 – 37)^2}{3\times 7\times 55\times 45} \\
&= \frac{11\times 4\times 25^2}{3\times 7\times 5\times 45} \\
&= \frac{11\times 4\times 25}{3\times 7\times 9} ({}< \frac{11\times 4}7 = 6+2/7<6.635)\\
&> \frac{42\times 25}{3\times 7\times 9} \\
&= 50/9 > 3.841
\end{align*}
再比如 2020年新高考第19题 之类都可以使用该方法简化运算.