借助 Viète 定理, 可以避免复杂运算以解决该问题.
设抛物线$\Gamma: x^2 = 2py$ ($p \ne 0$), 直线$\ell: y = kx + m$ ($k =\tan \alpha \ne 0$). 点$P,Q,R \in \Gamma$, 且 $P,Q$ 关于直线 $\ell$ 对称, $RQ = RP$, $\angle PRQ = 2\beta$.
设 $P(x_1,y_1)$, $Q(x_2,y_2)$, $R(x_3,y_3)$.
第一问求 $m$ 的取值范围.
根据对称性,有 \begin{align*} &\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} = -\frac1k \\ &\implies \frac1{2p} (x_1 + x_2) = -\frac1k \\ &\implies x_1 + x_2 = -\frac{2p}k \\ &\implies y_1 + y_2 = k(x_1 + x_2) + 2m = 2m-2p \\ &\implies PQ: y- (m-p) = -\frac1k x – (-\frac1k)(-\frac{p}k) = -\frac1k x – \frac{p}{k^2} \\ & \Delta > 0 \implies p(m – \frac{1+2k^2}{2k^2}p) > 0 \end{align*}
第二问求 $|PQ|$ 的长度.
根据角的关系, 有 \begin{align*} k_{PR} &= \tan(\alpha + \beta) = \frac{ \tan \alpha + \tan \beta}{ 1-\tan\alpha \tan\beta} \\ PR: y&=k_{PR} x + m_1 \\ &x^2 – 2p k_{PR} x – 2p m_1 = 0 \\ x_1 + x_3 &= 2p k_{PR} \\ k_{QR} &= \tan(\alpha – \beta) = \frac{ \tan \alpha – \tan \beta}{ 1+\tan\alpha \tan\beta} \\ x_2 + x_3 &= 2p k_{QR} \\ x_1 – x_2 &= 2p (k_{PR} – k_{QR}) = 2p \times \frac{\sin 2\beta}{\cos^2 \alpha – \sin^2 \beta }\\ |PQ| &= \sqrt{1+\frac1{k^2}}|x_1-x_2| \end{align*}
至此, 对于给定的斜率 $k$, 抛物线焦准距 $p$ 以及等腰三角形 $\triangle PRQ$ 的顶角 $2\beta$ 的大小即可得到.