\begin{enumerate}
\item 设平面向量 $\vec{x},\vec{y}$ 满足
$\vec{x}-\vec{y}=(2,0)$，$\vec{x}+\vec{y}=(2,6)$，
则 $\dfrac{|\vec{x}|}{\vec{x}\cdot\vec{y}}=\underline{\qquad}$。
\item 设实数 $x$ 满足
$3\cdot 4^{x}=2^{x+3}+3$，
则 $x=\underline{\qquad}$。
\item 对于 $k=0,1,2,\dots$，定义集合
$A_{k}=\{9+k,13+2k\}$，
并记
$S_{k}=A_{0}\cup A_{1}\cup\cdots\cup A_{k}$，
则使得 $S_{n}$ 中恰有 $3$ 个完全平方数的最小正整数
$n=\underline{\qquad}$。
\item 函数
$f(x)=\log_{2}(1-x)-\log_{2}(1-x^{2})$
的值域为 $\underline{\qquad}$。
\item 在 $\triangle ABC$ 中，已知
$\tan A:\tan B:\tan C=2:3:5$，
则
$\sin A=\underline{\qquad}$。
\item 设双曲线 $\Gamma$ 过点 $P(1,0),Q(7,12)$，两条（不重合的）平行直线 $l_{1},l_{2}$ 分别经过点 $P,Q$，且 $\Gamma$ 的右焦点 $F$ 到直线 $l_{1}$ 的距离等于 $F$ 到直线 $l_{2}$ 的距离，则 $l_{1}$ 的斜率为 $\underline{\qquad}$。
\item 在由 $100$ 个数对构成的集合
$\{(x,y)\mid x,y\text{ 为不超过 }10\text{ 的正整数}\}$
中随机选取一个数对 $(x,y)$，则以 $x$ 为首项，$y$ 为第 $2$ 项的无穷等差数列中有一项等于
$10\times 9\times 8\times 7\times\cdots\times 1$
的概率为 $\underline{\qquad}$。
\item 在一个底面半径为 $1$，高为 $4$ 的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内部有两个半径为 $1$ 的铁球。设容器内还有一个小铜球与容器的内表面及上述两个铁球都相切，则该小铜球的体积为 $\underline{\qquad}$。
\item （16 分）若复数 $z$ 满足
$\left||z|+z\right|+z=\mathrm{i}$，
求 $z$。
\item （20 分）在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$A$ 为抛物线
$\Gamma:y^{2}=x$
上的动点，且 $A$ 的纵坐标大于 $2$，点 $B$ 为 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点，点 $P$ 在线段 $AB$ 上，点 $Q$ 在 $\Gamma$ 上，满足
$PQ\perp AB$，$|PQ|=|AB|$。
求直线 $OP$ 的斜率 $k$ 的最大值，并确定当 $k$ 取到最大值时 $\triangle ABQ$ 的面积。
\item （20 分）给定整数 $q$（$|q|\geq 2$）。求最小的正整数 $m$（用 $q$ 表示），使得存在满足下述条件 (i) 和 (ii) 的实数列
$a_{1},a_{2},\dots,a_{m}$：
\begin{enumerate}[label=(\roman*),leftmargin=2.2em]
\item 对任意 $k=1,2,\dots,m-1$，都有
$|a_{k+1}-a_{k}|=1$；
\item 存在正整数
$i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{10}\leq m$，
使得
$a_{i_{1}},a_{i_{2}},\dots,a_{i_{10}}$
成公比为 $q$ 的等比数列。
\end{enumerate}\end{enumerate}