以焦点在 $x$~轴 上为例简单说明
椭圆
$(1-e^2)x^2 + y^2 – a^2(1-e^2)=0$, $F_2(c,0)$, $\ell \colon \begin{cases}
x= c+t\cos\alpha, \\
y=t\sin\alpha
\end{cases} t ~为参数$.
\begin{align*}
(1-e^2)x^2 + y^2 – a^2(1-e^2)=0 \\
(1-e^2)(c+t\cos\alpha)^2 + (t\sin\alpha)^2 – a^2(1-e^2)=0 \\
(1-e^2\cos^2\alpha) t^2 + 2a(1-e^2)et\cos\alpha – a^2(1-e^2)^2=0 \\
((1+e\cos\alpha)t-a(1-e^2))((1-e\cos\alpha)t+a(1-e^2))=0
\end{align*}
\[
d=|t_1-t_2| = \frac{2a(1-e^2)}{1-e^2\cos^2\alpha}.
\]
同样办法得双曲线的为
\[
d=|t_1-t_2| = \frac{2a(e^2-1)}{e^2\cos^2\alpha-1}.
\]
表面上可以写成同一个
类似得到抛物线的为
\[
d=|t_1-t_2| = \frac{2p}{1-\cos^2\alpha} = \frac{2p}{\sin^2\alpha}.
\]
统一来看, 分子都为通经(即垂直于焦点所在直线的弦)的长, 而分母可以统一为 $|1-e^2\cos^2\alpha|$, 其中 $\alpha$ 为直线的倾斜角. 考虑焦点在 $y$~轴上与在 $x$~轴上的关系, 就可得到此时的过焦点弦长公式.