[原创] 2020年新高考1卷第22题之一般结论

原题为:

已知椭圆 $C \colon \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \,(a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt2}2$, 且过点 $A (2, 1)$.
(1) 求 $ C $ 的方程;
(2) 点 $ M , N $ 在 $ C $ 上, 且 $AM \perp AN $, $AD \perp M N $, $D$ 为垂足. 证明: 存在定 点 $ Q $, 使得 $ |DQ| $ 为定值.

一下探究第二问的一般结论.

若 $A(x_0,y_0)$ 且椭圆的离心率为 $e$, 设 $M(x_1,y_1)$ 和 $N(x_2,y_2)$.

若 $ MN $ 无斜率, 则其方程即为 $x=x_1$. 根据 $AM \perp AN$ 得
\[ (x_1-x_0,y_1-y_0) \cdot (x_1-x_0,-y_1-y_0)=0, \]
结合 $y^2=(1-e^2)(a^2-x^2)$, 化简得
\[ (2-e^2)x_1^2 – 2x_0x_1 + e^2x_0^2=0, \]
解之得 $x_1=\frac{e^2}{2-e^2}x_0$ (舍 $x_1=x_0$).

否则设 $MN \colon y=kx+m$, 与椭圆方程联立化简, 得
\[ (k^2+1-e^2)x^2 + 2kmx + m^2-a^2(1-e^2)=0. \]
同理由 $AM \perp AN$ 化简得
\[ (1+k^2)x_1x_2 + (km-ky_0-x_0)(x_1+x_2) + x_0^2 + (m-y_0)^2=0. \]
利用 Vieta 定理, 整理化简得
\[ (2-e^2)m^2 + 2x_0km + x_0^2e^2k^2 – 2(1-e^2)y_0m – e^2y_0^2=0. \]
因式分解之得
\[ (m+x_0k-y_0)((2-e^2)m+e^2x_0k+e^2y_0) = 0, \]
即 $(2-e^2)m+e^2x_0k+e^2y_0 = 0$ (舍 $m+x_0k-y_0=0$, 因 $A \notin MN$). 带入 $MN$ 方程化简得
\[ y + \frac{e^2y_0}{2-e^2}= k(x-\frac{e^2x_0}{2-e^2}). \]
设 $P(e^2x_0/(2-e^2),-e^2y_0/(2-e^2))$, 结合 $MN$ 无斜率的情况, 则 $MN$ 恒过 $P$ 点. 根据 $D$ 的定义可知 $D$ 在以 $AP$ 为直径的圆周上, 故取 $Q$ 为 $AP$ 的中点即可.

另外, 容易验证 $x_0y_0 \ne 0$ 时椭圆在点 $A$ 处的切线 $\ell$ 斜率为 $k=-x_0(1-e^2)/y_0$, 而 $k_{AP} = y_0/(x_0(1-e^2))$; 而 $x_0y_0 = 0$ 时, $\ell$ 与 $AP$ 的斜率为一零一不存在, 综合得 $\ell \perp AP$.
且 $|AQ| = \sqrt{(1-e^2)(a^2-e^2x_0^2)}/(2-e^2)$, 而 $a^2-e^2x_0^2$ 不就是俩焦半径之积.