2020 年高考课标 1 卷第 20 题第二问原题给的是具体数字, 结论未指明具体的点, 这里先直接给出结论:
已知点 $A_1(-a,0)$, $A_2(a,0)$ 在曲线 $C: (1-e^2)x^2 + y^2 – a^2(1-e^2) = 0 \, (a>0)$ 上, 点 $P$ 在直线 $ x=ta \, (t \ne 0)$ 上, 直线 $PA_1$ 交 $C$ 于另一点 $M$, 直线 $PA_2$ 交 $C$ 于另一点 $N$, 记过点 $M,N$的直线为 $\ell$. 则直线 $\ell$ 过定点 $(a/t,0)$.
证: 若 $e^2 \ne 1$, 设点 $P(ta,s)$, $M(x_1,y_1)$, $N(x_1,y_1)$, 且设 $\ell$ 斜率不为零时的方程为 $x=hy+n$.
首先根据 $M = PA_1 \cap \ell$ 得
\[
y_1 = \frac{s(n+a)}{ta-sh+a},
\]
同理可得
\[
y_2 = \frac{s(n-a)}{ta-sh-a}.
\]
再将 $\ell$ 与 $C$ 方程联立化简得
\[
((1-e^2)h^2+1) y^2 + 2hn(1-e^2) y + (1-e^2)(n^2-a^2) = 0.
\]
根据 Vieta 定理, 结合 $M,N$ 纵坐标可得
\begin{align}
y_1+y_2 = -\frac{2hn(1-e^2)}{(1-e^2)h^2+1} &= \frac{2s(n(ta-sh)-a^2)}{(ta-sh)^2-a^2}, \label{eq:y1+y2} \\
y_1y_2 = \frac{(1-e^2)(n^2-a^2)}{(1-e^2)h^2+1} &= \frac{s^2(n^2-a^2)}{(ta-sh)^2-a^2}. \label{eq:y1y2}
\end{align}
由 $(y_1+y_2)/(y_1y_2)$, 略作化简可得
\[
hn = \frac1s (a^2 – n(ta-sh)),
\]
得 $n= a/t$, 故 $\ell$ 斜率不为零时的方程为 $x = hy + a/t$, 即 $(a/t,0) \in \ell$.
另外容易验证 $\ell$ 斜率为零或 $e^2=1$ 时上述结论亦成立.
注: 曲线 $C$ 的方程表面上看是椭圆或双曲线, 实际上根据 $e$ 的取值不难验证亦可得到圆或直线. 实际上更一般化, 对 $a$ 亦可不做要求.